La recta

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Ejemplo I Una parábola tiene vértice en el  punto (–4, 2)  , y su  directriz es y = 5  , encuentre su ecuación y exprésela en la forma general. Desarrollo Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que: a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical. b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y). c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen. d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya  ecuación ordinaria o canónica  es del tipo: (x – h)  2  = –4p (y – k) De las coordenadas del vértice se obtiene: h = –4 k = 2 Se obtiene  p  por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando: p = 5 – 2 p = 3 Sustituyendo...

La parábola constituye una  curva cónica  que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un balón o pelota que es impulsado por un jugador de  básquetbol :  “Manu Ginóbili lanzó con una gran parábola para evitar a su defensor y logró encestar” . Una parábola es, por otra parte, el relato de un  acontecimiento ficticio  que permite transmitir un  mensaje  de contenido moral a través de una analogía, una comparación o una similitud. Las parábolas son cuentos de intención didáctica que se sustentan en una mirada sobree l mundo que resulta verosímil. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.   COMPONENTES DE LA PARÁBOLA Foco Es el punto fijo F. Directriz Es la recta fija d. Parámetro Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje Es la recta perpen...

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ejerció  de hiperbola  - Calcula los focos , los vértices de la hiperbola siguiente : solución :  se observa que la hipérbola está centrada en el origen de coordenadas y que los focos están en el eje de ordenadas. Además, a 2  = 144 y b 2  = 25, por lo que se deduce que a = 12 y b = 5. Como c 2  = a 2  + b 2 , se tiene que c 2  = 144 + 25 = 169. Luego, obtenemos que c = 13. Como conclusión, los focos son  F (0, 13)  y  F´(0, - 13).  Los vértices son A (0, 12)  y  A´(0, - 12 ). ejercicio de la parábola   : Obtén la ecuación reducida de la parábola 8 y 2  – 16 x = 0. Determina las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz. solución :  Dividimos la ecuación dada por 8: simplificamos :  y 2  – 2 x = 0 De esta forma, deducimos que la ecuación reducida es: y 2  = 2 x Se observa que...

hipérbole  :  Parábola    : https://www.youtube.com/watch?v=GRdgO1UeTdg&feature=youtu.be

       Ejemplos de Aplicación  de la Hipérbola  1-  Uno de los usos de la hipérbola es en el sistema de navegación LORAN, el cual consiste en emitir una señal al mismo tiempo desde dos puntos fijos a una nave en el mar, la diferencia de tiempo de llegada de las dos señales a la nave determinan la distancia a la cual se encuentra dicha nave de los puntos donde se emite la señal. Con lo anterior se puede determinar el punto en el cual se encuentra la nave en una de las ramas de la hipérbola.  2_ También es útil en la modelación de la trayectoria que toma un cometa al entrar al sistema solar. 3 _  La hipérbola al igual que la parábola tiene una propiedad de reflexión (no la misma) que ayuda en la creación de lentes de telescopio. En la guerra también es utilizada para la localización de artillería, por medio del sonido que estas producen al ser disparadas, a este método se le llama localización acústica...

-Las asíntotas de la hipérbola con eje focal paralelo al eje 𝑋, son :   -  Las asíntotas de la hipérbola con eje focal paralelo al eje Y, son :  -  Para toda hipérbola, 𝑎 es la longitud del semieje transverso, 𝑏 la del semieje conjugado, 𝑐 la distancia del centro a cada foco, y 𝑎, 𝑏, 𝑐 están ligados por le expresión   - Para algunos problemas :

ecuación y propiedades de la hipérbole :  La ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje focal el eje 𝑋, y focos los puntos (𝑐, 0) y (−𝑐, 0), es : caso particular : - GRÁFICO SI COINCIDE CON EL EJE X  -  Si el eje focal coincide con el eje 𝑌, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, 𝑐) y (0, −𝑐), entonces la ecuación es :  2 . LA HIPÉRBOLA ORDINARIA   :  - La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (ℎ, 𝑘), eje focal paralelo al eje 𝑋, es de la forma .  -  Si el eje focal es paralelo al eje 𝑌, entonces la ecuación es

LOS ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA : - Focos (𝑭𝟏, 𝑭𝟐): Son los puntos fijos.  - Eje Focal : Recta que pasa por los dos focos. - Vértices (𝑽𝟏,𝑽𝟐): Intersección del eje focal con las ramas de las hipérbola.  - Eje transverso: Segmento del eje focal comprendido entre los vértices.  - Centro (𝑪): Puntos medio del eje transverso. - Eje Normal: Rectas que pasa por 𝐶 y perpendicular al eje focal.  - Cuerda focal : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola y que pasa por alguno de los focos. - Lado recto : Cuerda focal perpendicular al eje focal. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. link : https://es.slideshare.net/2010modalidad/hiperbola

La Hipérbola  DEFINICIÓN  :   Una hipérbola es un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de las diferencias de sus distancias da dos puntos fijos del plano , llamados focos , es siempre igual a una constante , positiva y menor que la distancia a dos focos .  AUTORES :  Según la tradición las secciones cónicas fueron descubiertas Menecmo , en su estudio de problema de la duplicación del cubo, donde muestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola , lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Erastostenes. Sin embargo , el primero en usar el termino hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.   - PRINCIPALES AUTORES : ERASTOTHENES  Y PROCLO  ...

formas de la ecuación 

Problema 1 Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta ¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta? ¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta? Solución La pendiente es el coeficiente de la  x x , es decir,  a = 3 a = 3 . La ordenada es el término independiente, es decir,  b = − 1 b = − 1 . Como la pendiente es positiva, la recta es creciente (de izquierda a derecha). Puntos de corte  con el eje OY: La recta corta al eje OY cuando  x = 0 x = 0 . Sustituimos en la ecuación: El punto de corte es  ( 0 , − 1 ) ( 0 , − 1 ) . Puntos de corte  con el eje OX: Ocurre cuando  y = 0 y = 0 . Sustituimos en la ecuación: El punto de corte es  ( 1 / 3 , 0 ) ( 1 / 3 , 0 ) . Sabiendo los puntos de corte, podemos representar la recta fácilmente. Problema 2 Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta ¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta? ¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta? Solución C...