EJEMPLOS DE LA PARABOLA

- noviembre 30, 2018

Ejemplo I

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2) , y su directriz es y = 5 , encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.

Desarrollo

Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).

c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.

d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h) 2 = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h) 2 = –4p(y – k)

(x – (–4)) 2 = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4) 2 = –12(y – 2)

(x + 4) 2 = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

x 2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0

x 2 + 8x + 12y – 8 = 0

Ejemplo II

Dada la ecuación de la parábola

y 2 + 8y – 6x + 4 = 0,

encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.

Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.

Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y 2 ) y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)

y 2 + 8y = 6x – 4

Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto :

En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico del factor lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:

8/2 = 4 y 4 2 = 16 (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)

Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación:

y 2 + 8y + 16 = 6x – 4 + 16

Simplificando:

y 2 + 8y + 16 = 6x + 12

Factorizando resulta:

El trinomio cuadrado y 2 + 8y + 16 que se convierte en cuadrado de binomio (y + 4) 2

y 2 + 8y + 16 = (y + 4) 2

Y el segundo miembro queda

6x + 12 = 6(x + 2)

Entonces, la ecuación queda así:

(y + 4) 2 = 6(x + 2)

Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente.

(y – k) 2 = 4p(x – h)

Con lo cual se puede determinar que:

k = – 4

h = – 2

Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas V (–2, –4)

Además:

Si 4p = 6

Entonces

p = 6/4 = 3/2

Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de p , es posible determinar la posición del foco, ya que éste estará alineado a la derecha del vértice a una distancia p desde h , y con la misma ordenada k , resultando: